简明解释算法中的大O符号
2009 年 1 月 28 日 Arec Barrwin 在 StackOverflow 上提问，“有没有关于大O符号（Big O notation）的简单解释？尽量别用那么正式的定义，用尽可能简单的数学来解释”。在经过众多热心网友的修改更新后，最佳回复的得分已高达 3234 分，详细内容，请见下文。
最佳回复所给出的大O符号的最简单定义如下：
大O符号是一种算法复杂度的相对表示方式。
这个句子里有一些重要而严谨的用词：
- 相对(relative)：你只能比较相同的事物。你不能把一个做算数乘法的算法和排序整数列表的算法进行比较。但是，比较 2 个算法所做的算术操作（一个做乘法，一个做加法）将会告诉你一些有意义的东西；
- 表示(representation)：大O(用它最简单的形式)把算法间的比较简化为了一个单一变量。这个 变量的选择基于观察或假设。例如，排序算法之间的对比通常是基于比较操作(比较 2 个结点来决定这 2 个结点的相对顺序)。这里面就假设了比较操作的计算开销很大。但是，如果比较操作的计算开销不大，而交换操作的计算开销很大，又会怎么样呢？这就改变了先 前的比较方式；
- 复杂度(complexity)：如果排序 10,000 个元素花费了我 1 秒，那么排序 1 百万个元素会花多少时间？在这个例子里，复杂度就是相对其他东西的度量结果。
在你阅读了本文剩余部分后，再回来重读上面的文字吧。
我所能想到的大O符号最好的例子就是做算术。拿两个数字（123456 和 789012）举例。我们在学校里学到的基本算术操作是：
- 加法；
- 减法；
- 乘法；
- 除法。
它们中每一个都是一次操作或一个问题。为它们求解的方法就被叫做算法（algorithm）。
加法是最简单的了。你把加数排成行，按列加上每个数字，把所加得的数的末位数字写到结果里。所加得的数的十位及其以上的数字转入下一列的计算中。
让我们假设在算法中，加上这些数是计算开销最大的操作。合乎情理的说，为了把这两个数加起来我们必须要加 6 次数字（并且可能进位到第 7 次）。如果我们把两个 100 位数相加，我们必须做 100 次加法操作。如果我们把两个 10,000 位数相加，我们必须做 10,000 次加法操作。
看到这里的模式了吗？复杂度（complexity，就是操作的数量），对于加法中较大数的数字个数n，是直接成比例的。我们称这为O(n)或者线性复杂度（linear complexity）。
除了借位替代了进位，减法也是相似的。
乘法就不同了。你把乘数排成行，取放在下面的乘数的第 1 个数字，把它逆序乘以上面乘数的每一个数字。下面乘数的其余数字也这样做。所以为了乘我们的两个 6 位数乘数，我们必须做 36 次乘法操作。我们还需要做 10 或 11 次列的加法操作来得到最终结果。
如果我们有两个 100 位数相乘，我们需要做 10,000 次乘法操作和 200 次加法操作。两个 100 万位数相乘，我们需要做 1 万亿(1012)次乘法操作和 200 万次加法操作。
作为n平方的算法衡量尺度，这就是O(n2)，即平方复杂度(quadratic complexity)。现在是时候介绍另一个重要概念了：
我们只关心复杂度最重要的部分。
敏锐的人可能已意识到，我们可以把操作次数表示为：n2 + 2n。但正如你所看到的，我们的两个 100 万位数相乘的例子，第二个 2n 无关紧要（在那个阶段，2n 只占操作总量的 0.0002%）。
有人注意到我们在这里假设场景为最坏的情况。当我们做 6 位数乘法时，如果其中一个是 4 位数另一个是 6 位数，那么我们只需做 24 次乘法操作。然而，对于那个’n'，我们仍然计算最坏情况，即乘数都是 6 位数的情况。因此，大O符号是关于一个算法的最坏情况的。
电话簿
我所能想到的下一个最棒的例子就是电话簿，通常叫做白页电话簿或者其它类似名字，因国而异。但我要谈论的是这种电话薄，这种电话薄把人按这样的顺序排列：姓、缩写或名、地址、然后是电话号码。
现在，如果你要指示计算机在一个包含1,000,000 个名字的电话簿中查找”John Smith”的电话号码，你会怎么做？忽略也许你能猜测出S从电话簿哪里开始的事实（假设你不能猜测），你会怎么做？
一种典型的实现也许是，打开电话簿的正中间，取第 500,000 条记录，把它和”Smith”进行比较。如果这恰好就是”Smith,John”，那我们真幸运。然而，”John Smith”更有可能在其前面或后面。如果在后面，那么我们把电话簿后面一半从中间划分开，然后重复之前的过程；如果在前面，那么我们把第一半从中间划分 开，然后重复之前的过程。以此类推。
这种算法叫做二分搜索(binary search)。不论你是否意识到，它在编程中每天都用到。
因此，如果你想要在包含 100 万名字的电话簿中查找一个名字，事实上，通过这种算法，最多 20 次，你能找到任何名字。在比较搜索算法中，我们决定把比较操作作为我们的’n'。
- 对于有 3 个名字的电话簿，最多需 2 次比较。
- 对于有 7 个名字的电话簿，最多需 3 次比较。
- 对于有 15 个名字的电话簿，最多需 4 次比较。
- …
- 对于有1,000,000 个名字的电话簿，最多需 20 次比较。
这简直好得难以置信，不是吗？
用大O术语就是O(log n)，即对数复杂度（logarithmic complexity）。现在问题中的对数可以是 ln (底数为e)，log10，log2 或者以其它为底数，这无关紧要，它仍然是O(log n)，正如O(2n2) 和 O (100n2) 都记为 O (n2)。
现在，值得花时间说明一下，对于算法，大O符号能够被用于决定 3 种情况：
- 最好情况(Best Case)：在电话簿的搜索中，最好情况是我们比较了 1 次就找到了名字。这就是O(1)，即常数复杂度(constant complexity)；
- 期望情况(Expected Case)：正如上面讨论过的，复杂度是O(log n)；
- 最坏情况(Worst Case)：也是O(log n)。
通常我们不关心最好情况。我们对期望和最坏情况感兴趣。有时，期望情况更重要，有时最坏情况更重要。
回到电话簿的例子上来。
如果你有一个电话号码，想要查找名字，要怎么做呢？警察有一个相反（按电话号码排列）的电话簿，但是对于一般公众，这样的查询会被拒绝，是吧？技术上，你能在普通电话簿中查找一个号码。要怎么做呢？
你从第一个名字开始比较号码。如果吻合，很棒，如果不吻合，你移到下一条记录。你必须这样做，因为电话簿是无序(unordered)的(电话号码的排列是无序的)。
因此，查找一个名字：
- 最好情况(Best Case)：O(1);
- 期望情况(Expected Case)：O(n)（对应 500,000）;
- 最坏情况(Worst Case)：O(n)（对应1,000,000）。
旅行商问题
这是计算机科学中值得提到的一个相当有名的问题。在这个问题中，有N个城镇，每个城镇通过道路与 1 个或多个其它城镇相连，道路的路程是确定的。旅行商问题就是找出访问每个城镇的最短路线。
听起来很简单？再想想。
如果有 3 个城镇A、B、C，两两之间都有道路，那么你可以这样走：
- A -> B -> C
- A -> C -> B
- B -> C -> A
- B -> A -> C
- C -> A -> B
- C -> B -> A
好吧，事实上，实际路线比上面的少，因为一些路线是等价的（例如，A -> B -> C 和 C -> B -> A 是等价的，因为它们使用同一条路线，只是方向相反）。
所以，事实上，这里有 3 条可能的路径。
- 增加到 4 个城镇，你有 12 条可能的路径（如果我没记错）。
- 5 个城镇，60 条可能的路径。
- 6 个城镇，360 条可能的路径。
这是一个被叫做阶乘(factorial)的数学运算函数。大体上：
- 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
- 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
- 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
- …
- 25! = 25 * 24 * … * 2 * 1 = 15,511,210,043,330,985,984,000,000
- …
- 50! = 50 * 49 * … * 2 * 1 = 3.04140932 * 1064
所以旅行商问题的大O符号表示是O(n!)，即阶乘(factorial)或组合复杂度(combinatorial complexity)。
当你有 200 个城镇的时候，使用传统计算机，那么全世界已经没有足够的时间来解决这个问题了。
现在，有一些要思考的东西。
多项式时间
另一个我想要快速提及的要点是，任何复杂度为O(na)的算法被称为有多项式复杂度(polynomial complexity)，或可以在多项式时间(polynomial time)内解决。
传统计算机能解决可以在多项式时间内解决的难题。世界上有些东西就建立在这一基础上。公钥加密是个极好例子。找到一个很大的数的两个素因子是困难的，如果不困难，那么我们就不能使用公钥加密系统了。
总之，这就是我对大O符号的解释（希望是清楚明白的英文解释）。