最短路径之迪杰斯特拉(Dijkstra)算法

RosBackhaus 4年前
   <p>迪杰斯特拉(Dijkstra)算法主要是针对没有负值的有向图,求解其中的单一起点到其他顶点的最短路径算法。本文主要总结迪杰斯特拉(Dijkstra)算法的原理和算法流程,最后通过程序实现在一个带权值的有向图中,选定某一个起点,求解到达其它节点的最短路径,来加深对算法的理解。</p>    <h3><strong>1 算法原理</strong></h3>    <p>迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是一个按照路径长度递增的次序产生的最短路径算法。下图为带权值的有向图,作为程序中的实验数据。</p>    <p style="text-align:center"><img src="https://simg.open-open.com/show/6aa34af8e05a013f7573f3dce9d2397f.png"></p>    <p>其中,带权值的有向图采用邻接矩阵graph来进行存储,在计算中就是采用n*n的二维数组来进行存储,v0-v5表示数组的索引编号0-5,二维数组的值表示节点之间的权值,若两个节点不能通行,比如,v0->v1不能通行,那么$graph[0,1]=\infty$ (采用计算机中最大正整数来进行表示)。那如何求解从v0每个v节点的最短路径长度呢?</p>    <p style="text-align:center"><img src="https://simg.open-open.com/show/5fe0bf96a29e9268c7fb6cc82a527f87.png"></p>    <p>首先,引进一个辅助数组cost,它的每个值$cost[i]$表示当前所找到的从起始点v0到终点vi的最短路径的权值(长度花费),该数组的初态为:若从v0到vi有弧,则$cost[i]$为弧上的权值,否则置$cost[i]$为$\infty$ 。显然,长度为:</p>    <p>$$</p>    <p>cost[j]=Min_i(graph[0,i] | v_i \in V)</p>    <p>$$</p>    <p>的路径就是从v0出发的长度最短的一条最短路径。此路径为$(v_0,v_j)$ ,那么下次长度次短的路径必定是弧$(v_0,v_i)$ 上的权值$cost[i](v_i \in V)$,或者是$cost[k](v_k \in S)$ 和弧$(v_k,v_i)$ 的权值之和。其中V:待求解最短路径的节点j集合;S:已求解最短路径的节点集合。</p>    <p>其实迪杰斯特拉(Dijkstra)最短路径算法是上一篇文迷宫问题求解之“A*搜索”(二) 所讲到的 A*搜索算法中的一个特例,当A *搜索算法中 h(n)函数为0的时候,那么它就是迪杰斯特拉算法,算法原理一样,只不过在写程序的时候稍微有点区别而已。</p>    <h3><strong>2 算法流程</strong></h3>    <p>根据上面的算法原理分析,下面描述算法的实现流程。</p>    <ol>     <li> <p>初始化:初始化辅助数组cost,从v0出发到图上其余节点v的初始权值为:$cost[i]=graph[0,i] \ |\ v_i \in V$ ;初始化待求节点S集合,它的初始状态为空集。</p> </li>     <li> <p>选择节点$v_j$ ,使得$cost[j]=Min ( cost[i] | v_i \in V -S )$ ,$v_j$ 就是当前求的一条从v0出发的最短路径的终点,修改S集合,使得$S=S\bigcup V_j$ 。</p> </li>     <li> <p>修改从v0出发到节点V-S上任一顶点$v_k$ 可达的最短路径,若cost[j]+graph[j,k]<cost[k] ,则修改cost[k]为:cost[k]=cost[j]+graph[j,k] 。</p> </li>     <li> <p>重复操作2,3步骤,直到求解集合V中的所有节点为止。</p> </li>    </ol>    <p>其中最短路径的存储采用一个path整数数组,path[i]的值记录vi的前一个节点的索引,通过path一直追溯到起点,就可以找到从vi到起始节点的最短路径。比如起始节点索引为0,若path[3]=4, path[4]=0;那么节点v2的最短路径为,v0->v4->v3。</p>    <h3><strong>3 算法实现</strong></h3>    <p>采用c#语言对第2节中的算法流程进行实现,关键代码如下。</p>    <p><strong>3.1 最短路径代码</strong></p>    <pre>  <code class="language-java">class DijkstraSolution  {      /*          * 求解各节点最短路径,获取path,和cost数组,          * path[i]表示vi节点的前继节点索引,一直追溯到起点。          * cost[i]表示vi节点的花费          */      public static void FindShortestPath(int[,] graph,int startIndex, int[] path, int[] cost,int max)      {          int nodeCount = graph.GetLength(0);          bool[] v = new bool[nodeCount];          //初始化 path,cost,V          for (int i = 0; i <nodeCount ; i++)          {              if (i == startIndex)//如果是出发点              {                  v[i] = true;//              }              else              {                  cost[i] = graph[startIndex,i ];                  if (cost[i] < max) path[i] = startIndex;                  else path[i] = -1;                  v[i] = false;              }          }          //          for(int i=1;i<nodeCount;i++)//求解nodeCount-1个          {              int minCost = max ;              int curNode=-1;              for (int w = 0; w < nodeCount; w++)              {                  if (!v[w])//未在V集合中                  {                       if(cost[w]<minCost)                      {                          minCost = cost[w];                          curNode = w;                      }                  }              }//for  获取最小权值的节点              if (curNode == -1) break;//剩下都是不可通行的节点,跳出循环              v[curNode] = true;              for (int w = 0; w < nodeCount; w++)              {                  if (!v[w] && (graph[curNode, w] + cost[curNode] < cost[w]))                  {                      cost[w] = graph[curNode, w] + cost[curNode];//更新权值                      path[w] = curNode;//更新路径                  }              }//for 更新其他节点的权值(距离)和路径          }//      }  }</code></pre>    <p><strong>3.2 调用代码</strong></p>    <pre>  <code class="language-java">int max = 10000;  int[,] graph = new int[6, 6] {      {max,max,10,max,30,100},      {max,max,5,max,max,max},      {max,max,max,50,max,max},      {max,max,max,max,max,10},      {max,max,max,20,max,60},      {max,max,max,max,max,max},  };  int []path = new int[6];  int []cost = new int[6];  DijkstraSolution.FindShortestPath(graph, 0, path, cost,max);</code></pre>    <p><strong>3.3 运行结果</strong></p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/ab10450338dcf298e9c1aabe3a4faf28.png"></p>    <h3><strong>4 总结</strong></h3>    <p>迪杰特拉斯算法求解了一个起始节点到所有其他节点的最短路径,时间复杂度为$O(n^2)$ ,即使人们可能只想知道从起始节点到某个特定的节点的最短路径,时间复杂度同样为$O(n^2)$ 。</p>    <p>理解一个算法和实现一个算法还有有些区别的。理解一个算法,只需要明白算法原理和它的逻辑过程即可,但是实现一个算法,不仅要明白算法的逻辑过程,还考究我们的程序设计能力。</p>    <h3> </h3>    <p> </p>    <p>来自:http://www.cnblogs.com/mingjiatang/p/5974451.html</p>    <p> </p>