Dijkstra算法求解最短路径分析

jopen 7年前

最短路径是图论算法中的经典问题。图分为有向图、无向图,路径权值有正值、负值,针对不同的情况需要分别选用不同的算法。在维基上面给出了各种不同的场景应用不同的算法的基本原则:最短路问题

针对无向图,正权值路径,采取Dijkstra算法

Dijkstra_Animation

如上图,是求a到b的最短路径,这里并不限定b节点,修改为到任意节点的路径,问题是完全一样的。

首先需要记录每个点到原点的距离,这个距离会在每一轮遍历的过程中刷新。每一个节点到原点的最短路径是其上一个节点(前驱节点)到原点的最短路径加上前驱节点到该节点的距离。以这个原则,经过N轮计算就能得到每一个节点的最短距离。

第一轮,可以计算出,2、3、4、5、6到原点1的距离分别为:[7, 9, -1, -1, 14]。-1表示无穷大。取其中最小的,为7,即可以确定1的最短路径为0,2为下一轮的前驱节点。同时确定2节点的最短路径为7,路线:1->2。

第二轮,取2节点为前驱节点,按照前驱节点的最短距离加上该节点与前驱节点的距离计算新的最短距离,可以得到3,4,5,6节点到原点的距离为: [17, 22, -1, -1],此时需要将这一轮得到的结果与上一轮的比较,3节点:17 > 9,最短路径仍然为9;4节点:22 < 无穷大,刷新4节点的最短路径为22;5节点:不变,仍然为无穷大;6节点:14 < 无穷大,取14,不变。则可以得到本轮的最短距离为:[9, 22, -1, 14],取最短路径最小的节点,为3,作为下一轮的前驱节点。同时确定3节点的最短路径为9,路线:1->3。

第三轮,同上,以3为前驱节点,得到4,5,6的计算距离为:[20, -1, 11],按照取最短路径的原则,与上一轮的进行比较,刷新为:[20, –1, 11],选定6为下一轮的前驱节点。同时取定6的最短路径为11,路线:1->3->6。

第四轮,同上,以6为前驱节点,得到4和5的计算距离为[20, 20],与上一轮进行比较,刷新后为[20, 20],二者相等只剩下两个节点,并且二者想等,剩下的计算已经不需要了。则两个节点的最短路径都为20。整个计算结束。4的最短路径为20,路 线:1->3->4。5的最短路径为20,路线:1->3->6->5。

如果二者不相等,则还需要进行第五轮,先确定二者中的一个的最短路径和路线,再取定剩下的。直到整个5次循环都完成。

结合上面的文字,算法的伪代码比较好理解,但是翻译成代码还是有一点麻烦:

 function Dijkstra(G, w, s)     for each vertex v in V[G]         //初始化           d[v] := infinity             // 將各點的已知最短距離先設成無窮大           previous[v] := undefined     // 各点的已知最短路径上的前趋都未知     d[s] := 0                         // 因为出发点到出发点间不需移动任何距离,所以可以直接将s到s的最小距离设为0     S := empty set     Q := set of all vertices     while Q is not an empty set       // Dijkstra演算法主體           u := Extract_Min(Q)           S.append(u)           for each edge outgoing from u as (u,v)                  if d[v] > d[u] + w(u,v)       // 拓展边(u,v)。w(u,v)为从u到v的路径长度。                        d[v] := d[u] + w(u,v)   // 更新路径长度到更小的那个和值。                        previous[v] := u        // 紀錄前趨頂點     

翻译成代码,则还有一些复杂。

Extract_Min(Q)方法就是从顶点集合中删除掉距离最小的点,并确定该节点的最短距离和路线。这里给出求最短距离的代码,具体的路径记录还没有比较简洁的思路实现。后面有空再来补充。

public class Dijkstra  {      public static final int M = -1;        public static void main(String[] args)      {          int[][] map1 = {                   { 0,  7,  9,  M,  M, 14 },                   { 7,  0,  10, 15, M, M },                  { 9,  10, 0,  11, M, 2 },                   { M,  15, 11, 0,  6, M },                  { M,  M,  M,  6,  0, 9 },                   { 14, M,  2,  M,  9, 0 } };            int orig = 0;          int[] shortPath = Dijsktra(map1, orig);            if (shortPath == null)          {              return;          }                    for (int i = 0; i < shortPath.length; i++)          {              System.out.println("从" + (orig + 1) + "出发到" + (i + 1) + "的最短距离为:"                      + shortPath[i]);          }      }        public static int[] Dijsktra(int[][] weight, int orig)      {          int n = weight.length;              // 顶点个数            int[] shortest = new int[n];        // 存放从start到其他各点的最短路径          boolean[] visited = new boolean[n]; // 标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,true表示已求出            // 初始化,第一个顶点求出          shortest[orig] = 0;          visited[orig] = true;            for (int count = 0; count != n - 1; count++) // 要加入n-1个顶点          {              // 选出一个距离初始顶点最近的未标记顶点              int k = M;                   int dmin = M;              for (int i = 0; i < n; i++)              {                  if (!visited[i] && weight[orig][i] != M)                  {                       if (dmin == -1 || dmin > weight[orig][i])                       {                           dmin = weight[orig][i];                           k = i;                       }                  }              }                // 正确的图生成的矩阵不可能出现K == M的情况              if (k == M)              {                  System.out.println("the input map matrix is wrong!");                  return null;              }                            shortest[k] = dmin;              visited[k] = true;                // 以k为中间点,修正从原点到未访问各点的距离              for (int i = 0; i < n; i++)              {                  if (!visited[i] && weight[k][i] != M)                  {                      int callen = dmin + weight[k][i];                      if (weight[orig][i] == M || weight[orig][i] > callen)                      {                          weight[orig][i] = callen;                      }                  }              }          }            return shortest;      }  }
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