高斯模糊的算法

jopen 10年前

通常,图像处理软件会提供"模糊"(blur)滤镜,使图片产生模糊的效果。

高斯模糊的算法

        "模糊"的算法有很多种,其中有一种叫做"高斯模糊"(Gaussian Blur)。它将正态分布(又名"高斯分布")用于图像处理。

高斯模糊的算法

        本文介绍"高斯模糊"的算法,你会看到这是一个非常简单易懂的算法。本质上,它是一种数据平滑技术(data smoothing),适用于多个场合,图像处理恰好提供了一个直观的应用实例。

        一、高斯模糊的原理

        所谓"模糊",可以理解成每一个像素都取周边像素的平均值。

高斯模糊的算法

        上图中,2 是中间点,周边点都是1。

高斯模糊的算法

        "中间点"取"周围点"的平均值,就会变成1。在数值上,这是一种"平滑化"。在图形上,就相当于产生"模糊"效果,"中间点"失去细节。

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        显然,计算平均值时,取值范围越大,"模糊效果"越强烈。

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        上面分别是原图、模糊半径 3 像素、模糊半径 10 像素的效果。模糊半径越大,图像就越模糊。从数值角度看,就是数值越平滑。

        接下来的问题就是,既然每个点都要取周边像素的平均值,那么应该如何分配权重呢?

        如果使用简单平均,显然不是很合理,因为图像都是连续的,越靠近的点关系越密切,越远离的点关系越疏远。因此,加权平均更合理,距离越近的点权重越大,距离越远的点权重越小。

        二、正态分布的权重

        正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

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        在图形上,正态分布是一种钟形曲线,越接近中心,取值越大,越远离中心,取值越小。

        计算平均值的时候,我们只需要将"中心点"作为原点,其他点按照其在正态曲线上的位置,分配权重,就可以得到一个加权平均值。

        三、高斯函数

        上面的正态分布是一维的,图像都是二维的,所以我们需要二维的正态分布。

高斯模糊的算法

        正态分布的密度函数叫做"高斯函数"(Gaussian function)。它的一维形式是:

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        其中,μ是x的均值,σ是x的方差。因为计算平均值的时候,中心点就是原点,所以μ等于0。

高斯模糊的算法

        根据一维高斯函数,可以推导得到二维高斯函数:

高斯模糊的算法

        有了这个函数 ,就可以计算每个点的权重了。

        四、权重矩阵

        假定中心点的坐标是(0,0),那么距离它最近的 8 个点的坐标如下:

高斯模糊的算法

        更远的点以此类推。

        为了计算权重矩阵,需要设定σ的值。假定σ=1.5,则模糊半径为 1 的权重矩阵如下:

高斯模糊的算法

        这 9 个点的权重总和等于 0.4787147,如果只计算这 9 个点的加权平均,还必须让它们的权重之和等于1,因此上面 9 个值还要分别除以 0.4787147,得到最终的权重矩阵。

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        五、计算高斯模糊

        有了权重矩阵,就可以计算高斯模糊的值了。

        假设现有 9 个像素点,灰度值(0-255)如下:

高斯模糊的算法

        每个点乘以自己的权重值:

高斯模糊的算法

        得到

高斯模糊的算法

        将这 9 个值加起来,就是中心点的高斯模糊的值。

        对所有点重复这个过程,就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片,可以对 RGB 三个通道分别做高斯模糊。

        六、边界点的处理

        如果一个点处于边界,周边没有足够的点,怎么办?

        一个变通方法,就是把已有的点拷贝到另一面的对应位置,模拟出完整的矩阵。

        七、参考文献

        * How to program a Gaussian Blur without using 3rd party libraries