Java数据结构与算法解析——伸展树

GreOConnor 3年前
   <h2>伸展树简介</h2>    <p>伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。</p>    <p>它的特殊是指,它除了本身是棵二叉查找树之外,它还具备一个特点: 当某个节点被访问时,伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是,下次要访问该节点时,能够迅速的访问到该节点。</p>    <h2>特性</h2>    <p>1.和普通的二叉查找树相比,具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度,时间性能上更好</p>    <p>2.和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比,维护更少的节点额外信息,空间性能更优,同时编程复杂度更低</p>    <p>3.在很多情况下,对于查找操作,后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置,这样下次查询操作可以很快的完成</p>    <p>4.可以完成对区间的查询、修改、删除等操作,可以实现线段树和树状数组的所有功能</p>    <h2>旋转</h2>    <p>伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后,都进行旋转操作 Splay(x, root),该操作将节点x旋转到树的根部。</p>    <p>伸展树的旋转有六种类型,如果去掉镜像的重复,则为三种:zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。</p>    <p>1 自底向上的方式进行旋转</p>    <p>1.1 zig旋转 <img src="https://simg.open-open.com/show/14986cfd4b87403ffb2e0266190ffa8e.png"></p>    <p>如图所示,x节点的父节点为y,x为y的左子节点,且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作),使之成为y的父节点,就可以使x成为伸展树的根节点。</p>    <p>1.2 zig-zig旋转 <img src="https://simg.open-open.com/show/60b7e321117c0172893de8fb8e7d7cb0.png"></p>    <p>如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在一字型链上。此时,先对y节点和z节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zig旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。</p>    <p>1.3 zig-zag旋转 <img src="https://simg.open-open.com/show/92b9fbef1b25e4241cd1f36c66be25b1.png"></p>    <p>如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在之字型链上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zag旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。</p>    <p>2 自顶向下的方式进行旋转这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时,将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。</p>    <p>(1) 当前节点x是中树的根</p>    <p>(2) 左树L保存小于x的节点</p>    <p>(3) 右树R保存大于x的节点</p>    <p>开始时候,x是树T的根,左树L和右树R都为空。三种旋转操作:</p>    <p><strong>2.1 zig旋转</strong> <img src="https://simg.open-open.com/show/c7727891171f757fc243621bb05edb55.png"></p>    <p>如图所示,x节点的子节点y就是我们要找的节点,则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作),使之成为x的父节点,就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根,同时,x节点移动到右树R中,显然右树上的节点都大于所要查找的节点。</p>    <p>2.2 zig-zig旋转 <img src="https://simg.open-open.com/show/d6947ce14b6d35e308c156a2631afd64.png"> 如上图所示,x节点的左子节点y,y的左子节点z,三者在一字型链上,且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时,对x节点和y节点进行zig,然后对z和y进行zig,使z成为中树的根,同时将y及其子树挂载到右树R上。</p>    <p>2.3 zig-zag旋转</p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/7b19fcebf0f6f91ad51e1715a2946e47.png"></p>    <p>如上图所示,x节点的左子节点y,y的右子节点z,三者在之字型链上,且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,将x及其右子树挂载到右树R上,此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转,使得z成为中树的根节点。</p>    <p>2.4 合并 <img src="https://simg.open-open.com/show/c2da63e45a1e5b709b4b96f1108a211b.png"></p>    <p>最后,找到节点或者遇到空节点之后,需要对左、中、右树进行合并。如图所示,将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求),将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。</p>    <h2>伸展树的实现</h2>    <h2>1.节点</h2>    <pre>  <code class="language-java">public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {      private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点        public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {          T key;                // 关键字(键值)          SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子          SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子            public SplayTreeNode() {              this.left = null;              this.right = null;          }            public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {              this.key = key;              this.left = left;              this.right = right;          }      }  }</code></pre>    <p>SplayTree是伸展树,而SplayTreeNode是伸展树节点。在此,我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:</p>    <p>(1) key – 是关键字,是用来对伸展树的节点进行排序的。</p>    <p>(2) left – 是左孩子。</p>    <p>(3) right – 是右孩子。</p>    <h2>2.旋转</h2>    <pre>  <code class="language-java">/*   * 旋转key对应的节点为根节点,并返回根节点。   *   * 注意:   *   (a):伸展树中存在"键值为key的节点"。   *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。   *   (b):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key < tree.key。   *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。   *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。   *   (c):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key > tree.key。   *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话,将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。   *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。   */      private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          if (tree == null)              return tree;            SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();          SplayTreeNode<T> l = N;          SplayTreeNode<T> r = N;          SplayTreeNode<T> c;            for (; ; ) {              int cmp = key.compareTo(tree.key);              if (cmp < 0) {                  if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {                      c = tree.left;                           /* rotate right */                      tree.left = c.right;                      c.right = tree;                      tree = c;                      if (tree.left == null)                          break;                  }                  r.left = tree;                               /* link right */                  r = tree;                  tree = tree.left;              } else if (cmp > 0) {                    if (tree.right == null)                      break;                    if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {                      c = tree.right;                          /* rotate left */                      tree.right = c.left;                      c.left = tree;                      tree = c;                      if (tree.right == null)                          break;                  }                    l.right = tree;                              /* link left */                  l = tree;                  tree = tree.right;              } else {                  break;              }          }          l.right = tree.left;                                /* assemble */          r.left = tree.right;          tree.left = N.right;          tree.right = N.left;            return tree;      }        public void splay(T key) {          mRoot = splay(mRoot, key);      }  }</code></pre>    <p>上面的代码的作用:将”键值为key的节点”旋转为根节点,并返回根节点。它的处理情况共包括:</p>    <p>(a):伸展树中存在”键值为key的节点”。</p>    <p>将”键值为key的节点”旋转为根节点。</p>    <p>(b):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key < tree->key。</p>    <p>b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。</p>    <p>b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。</p>    <p>(c):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key > tree->key。</p>    <p>c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话,将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。</p>    <p>c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。</p>    <p>下面列举个例子分别对a进行说明。</p>    <p>在下面的伸展树中查找10,,共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。</p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/50de184e0dc19d2ee3ecf31c158a0a2d.jpg"></p>    <p>01, 右旋</p>    <p>对应代码中的”rotate right”部分</p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/324f0dd304d42e781e87bc2069616164.jpg"></p>    <p>02, 右链接</p>    <p>对应代码中的”link right”部分</p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/9f01384161c74924244958eacaf544c2.jpg"></p>    <p>03.组合</p>    <p>对应代码中的”assemble”部分</p>    <p><img src="https://simg.open-open.com/show/41c8a96a73bd865658716018073cd87c.jpg"></p>    <p>提示:如果在上面的伸展树中查找”70”,则正好与”示例1”对称,而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。</p>    <p>其它的情况,例如”查找15是b-1的情况,查找5是b-2的情况”等等,这些都比较简单,大家可以自己分析。</p>    <h2>3.插入</h2>    <pre>  <code class="language-java">/**       * 将结点插入到伸展树中,并返回根节点       * @param tree 伸展树的根节点       * @param z 插入的结点       * @return       */      private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {          int cmp;          SplayTreeNode<T> y = null;          SplayTreeNode<T> x = tree;            // 查找z的插入位置          while (x != null) {              y = x;              cmp = z.key.compareTo(x.key);              if (cmp < 0)                  x = x.left;              else if (cmp > 0)                  x = x.right;              else {                  System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key);                  z = null;                  return tree;              }          }            if (y == null)              tree = z;          else {              cmp = z.key.compareTo(y.key);              if (cmp < 0)                  y.left = z;              else                  y.right = z;          }            return tree;      }        public void insert(T key) {          SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);            // 如果新建结点失败,则返回。          if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)              return;            // 插入节点          mRoot = insert(mRoot, z);          // 将节点(key)旋转为根节点          mRoot = splay(mRoot, key);      }</code></pre>    <p>insert(key)是提供给外部的接口,它的作用是新建节点(节点的键值为key),并将节点插入到伸展树中;然后,将该节点旋转为根节点。</p>    <p>insert(tree, z)是内部接口,它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时,仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树,而且不允许插入相同节点。</p>    <h2>4.删除</h2>    <pre>  <code class="language-java">/**       *        * @param tree 伸展树       * @param key 删除的结点       * @return       */      private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          SplayTreeNode<T> x;            if (tree == null)              return null;            // 查找键值为key的节点,找不到的话直接返回。          if (search(tree, key) == null)              return tree;            // 将key对应的节点旋转为根节点。          tree = splay(tree, key);            if (tree.left != null) {              // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点              x = splay(tree.left, key);              // 移除tree节点              x.right = tree.right;          }          else              x = tree.right;            tree = null;            return x;      }        public void remove(T key) {          mRoot = remove(mRoot, key);      }</code></pre>    <p>remove(key)是外部接口,remove(tree, key)是内部接口。</p>    <p>remove(tree, key)的作用是:删除伸展树中键值为key的节点。</p>    <p>它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话,则直接返回。若找到的话,则将该节点旋转为根节点,然后再删除该节点。</p>    <p>伸展树实现完整代码</p>    <pre>  <code class="language-java">public class SplayTree<T extends Comparable<T>> {      private SplayTreeNode<T> mRoot;    // 根结点        public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {          T key;                // 关键字(键值)          SplayTreeNode<T> left;    // 左孩子          SplayTreeNode<T> right;    // 右孩子            public SplayTreeNode() {              this.left = null;              this.right = null;          }            public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) {              this.key = key;              this.left = left;              this.right = right;          }      }        /*   * 旋转key对应的节点为根节点,并返回根节点。   *   * 注意:   *   (a):伸展树中存在"键值为key的节点"。   *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。   *   (b):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key < tree.key。   *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。   *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。   *   (c):伸展树中不存在"键值为key的节点",并且key > tree.key。   *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话,将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。   *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。   */      private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          if (tree == null)              return tree;            SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();          SplayTreeNode<T> l = N;          SplayTreeNode<T> r = N;          SplayTreeNode<T> c;            for (; ; ) {              int cmp = key.compareTo(tree.key);              if (cmp < 0) {                  if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) {                      c = tree.left;                           /* rotate right */                      tree.left = c.right;                      c.right = tree;                      tree = c;                      if (tree.left == null)                          break;                  }                  r.left = tree;                               /* link right */                  r = tree;                  tree = tree.left;              } else if (cmp > 0) {                    if (tree.right == null)                      break;                    if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) {                      c = tree.right;                          /* rotate left */                      tree.right = c.left;                      c.left = tree;                      tree = c;                      if (tree.right == null)                          break;                  }                    l.right = tree;                              /* link left */                  l = tree;                  tree = tree.right;              } else {                  break;              }          }          l.right = tree.left;                                /* assemble */          r.left = tree.right;          tree.left = N.right;          tree.right = N.left;            return tree;      }        public void splay(T key) {          mRoot = splay(mRoot, key);      }            /**       * 将结点插入到伸展树中,并返回根节点       * @param tree 伸展树的根节点       * @param z 插入的结点       * @return       */      private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {          int cmp;          SplayTreeNode<T> y = null;          SplayTreeNode<T> x = tree;            // 查找z的插入位置          while (x != null) {              y = x;              cmp = z.key.compareTo(x.key);              if (cmp < 0)                  x = x.left;              else if (cmp > 0)                  x = x.right;              else {                  System.out.printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z.key);                  z = null;                  return tree;              }          }            if (y == null)              tree = z;          else {              cmp = z.key.compareTo(y.key);              if (cmp < 0)                  y.left = z;              else                  y.right = z;          }            return tree;      }        public void insert(T key) {          SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);            // 如果新建结点失败,则返回。          if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null)              return;            // 插入节点          mRoot = insert(mRoot, z);          // 将节点(key)旋转为根节点          mRoot = splay(mRoot, key);      }        /*   * 删除结点(z),并返回被删除的结点   *   * 参数说明:   *     bst 伸展树   *     z 删除的结点   */        /**       *       * @param tree 伸展树       * @param key 删除的结点       * @return       */      private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {          SplayTreeNode<T> x;            if (tree == null)              return null;            // 查找键值为key的节点,找不到的话直接返回。          if (search(tree, key) == null)              return tree;            // 将key对应的节点旋转为根节点。          tree = splay(tree, key);            if (tree.left != null) {              // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点              x = splay(tree.left, key);              // 移除tree节点              x.right = tree.right;          }          else              x = tree.right;            tree = null;            return x;      }        public void remove(T key) {          mRoot = remove(mRoot, key);      }        /*      * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点      */      private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) {          if (x==null)              return x;            int cmp = key.compareTo(x.key);          if (cmp < 0)              return search(x.left, key);          else if (cmp > 0)              return search(x.right, key);          else              return x;      }        public SplayTreeNode<T> search(T key) {          return search(mRoot, key);      }        /*     * 查找最小结点:返回tree为根结点的伸展树的最小结点。     */      private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) {          if (tree == null)              return null;            while(tree.left != null)              tree = tree.left;          return tree;      }        public T minimum() {          SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot);          if (p != null)              return p.key;            return null;      }        /*       * 查找最大结点:返回tree为根结点的伸展树的最大结点。       */      private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) {          if (tree == null)              return null;            while(tree.right != null)              tree = tree.right;          return tree;      }        public T maximum() {          SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot);          if (p != null)              return p.key;            return null;      }  }</code></pre>    <p> </p>    <p>来自:http://blog.csdn.net/u012124438/article/details/78067998</p>    <p> </p>