【模式匹配】KMP算法的来龙去脉

1. 引言

字符串匹配是极为常见的一种模式匹配。简单地说，就是判断主串 \(T\) 中是否出现该模式串 \(P\) ，即 \(P\) 为 \(T\) 的子串。特别地，定义主串为 \(T[0 \dots n-1]\) ，模式串为 \(P[0 \dots p-1]\) ，则主串与模式串的长度各为 \(n\) 与 \(p\) 。

2. 匹配算法

先介绍暴力（brute-force）匹配的方法，然后根据暴力方法的缺点而引出KMP算法的思想，接着介绍如何计算部分匹配函数（Partial Match）与next函数的计算。

暴力方法

暴力匹配方法的思想非常朴素：

1. 依次从主串的首字符开始，与模式串逐一进行匹配；
2. 遇到失配时，则移到主串的第二个字符，将其与模式串首字符比较，逐一进行匹配；
3. 重复上述步骤，直至能匹配上，或剩下主串的长度不足以进行匹配。

下图给出了暴力匹配的例子，主串 T="ababcabcacbab" ，模式串 P="abcac" ，第一次匹配：

C代码实现：

int brute_force_match(char *t, char *p) {      int i, j, tem;      int tlen = strlen(t), plen = strlen(p);      for(i = 0, j = 0; i <= tlen - plen; i++, j = 0) {          tem = i;          while(t[tem] == p[j] & j < plen) {              tem++;              j++;          }          // matched          if(j == plen) {              return i;          }      }      // [p] is not a substring of [t]      return -1;  }

时间复杂度： i 在主串移动次数（外层的for循环）有 \(n-p\) 次，在失配时 j 移动次数最多有 \(p-1\) 次（最坏情况下）；因此，复杂度为 \(O(n*p)\) 。

我们仔细观察暴力匹配方法，发现：失配后下一次匹配，

• 主串的起始位置 = 上一轮匹配的起始位置 + 1；
• 模式串的起始位置 = 首字符 P[0] 。

如此未能利用已经匹配上的字符的信息，就造成了 重复匹配 。举个例子，比如：第一次匹配失败时，主串、模式串失配位置的字符分别为 a 与 c ，下一次匹配时主串、模式串的起始位置分别为 T[1] 与 P[0] ；因为在模式串中 c 之前是 ab ，未有 重复的字符结构 ，因此 T[1] 与 P[0] 肯定不能匹配上，这样造成了重复匹配。直观上，下一次的匹配应从 T[2] 与 P[0] 开始。

KMP思想

从图中可以看出，已匹配上的字符满足：

\[ T[i \dots i+j-1] = P[0 \dots j-1] \]

KMP算法思想：利用已经匹配上的字符信息，在下一次的匹配时，将已经匹配上的字符结构重新对齐，置下一次匹配

• 主串的起始位置 = 上一轮匹配的失配位置；
• 模式串的起始位置 = 重复字符结构的下一位字符

从图中得到模式串的重复字符结构：

且有

\[ T[i+j] \neq P[j] \neq P[m+1] \]

如果选取 \(m=m_2\) ，则会丢失 \(m=m_1\) 的这一种字符匹配情况。由数学归纳法容易知道， \(m\) 值应为满足式子\eqref{eq:overlap}中最大的那一个。

部分匹配函数

根据上面的讨论，我们定义部分匹配函数（Partial Match，在数据结构书[2]称之为失配函数）：

\[ f(j) = \left\{ {\matrix{ {\max \{ m \} } & P[0\dots m]=P[{j-m}\dots {j}],0\le m < j \cr {-1} & else \cr } } \right. \]

失配函数表示模式串中重复字符结构信息。KMP中大名鼎鼎的 next[j] 函数表示对于模式串失配位置为 j+1 ，下一轮匹配时模式串的起始位置（即对齐于主串的失配位置）；则有

\[ next[j] = f(j)+1 \]

如何计算部分匹配函数呢？首先来看一个例子，模式串 P="ababababca" 的部分匹配函数与next函数如下：

j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P[j]	a	b	a	b	a	b	a	b	c	a
f(j)	-1	-1	0	1	2	3	4	5	-1	0
next[j]	0	0	1	2	3	4	5	6	0	1

模式串的 f(j) 满足 \(P[0 \dots f(j)]=P[j-f(j) \dots j]\) ，在计算 f(j+1) 分为两类情况：

• 若 \(P[j+1]=P[f(j)+1]\) ，则有 \(P[0 \dots f(j)+1]=P[j-f(j) \dots j+1]\) ，因此 f(j+1)=f(j)+1 。
• 若 \(P[j+1] \neq P[f(j)+1]\) ，则要从 \(P[0 \dots f(j)]\) 中找出满足 P[f(j+1)]=P[j+1] 的 f(j+1) ，从而得到 \(P[0 \dots f(j+1)]=P[j+1-f(j+1) \dots j+1]\)

其中，根据 f(j) 的定义有：

\[ P[j]=P[f(j)]=P[f(f(j))]=\cdots = P[f^k(j)] \]

其中， \(f^k(j)=f(f^{k-1}(j))\) 。通过上面的例子可知，函数 \(f^k(j)\) 是随着 \(k\) 递减的，并最后收敛于 -1 。此外， P[j] 与 p[j+1] 相邻；因此若存在 P[f(j+1)]=P[j+1] ，则必有

\[ f(j+1)=f^k(j)+1 \]

为了求满足条件的最大的 f(j+1) ，因 \(f^k(j)\) 是随着 \(k\) 递减的，故应求满足上式的最小 \(k\) 值。

总结部分匹配函数的计算分析如下：

\[ f(j) = \left\{ {\matrix{ {f^k(j-1)+1} & \min \limits_{k} P[f^k(j-1)+1]=P[j] \cr {-1} & else \cr } } \right. \]

代码实现

部分匹配函数（失配函数）的C实现代码：

int *fail(char *p) {      int len = strlen(p);      int *f = (int *) malloc(len * sizeof(int));      f[0] = -1;      int i, j;      for(j = 1; j < len; j++) {          for(i = f[j-1]; ; i = f[i]) {              if(p[j] == p[i+1]) {                  f[j] = i + 1;                  break;              }              else if(i == -1) {                  f[j] = -1;                  break;              }          }      }      return f;  }

KMP的C实现代码：

int kmp(char *t, char *p) {      int *f = fail(p);      int i, j;      for(i = 0, j = 0; i < strlen(t) && j < strlen(p); ) {          if(t[i] == p[j]) {              i++;              j++;          }          else if(j == 0)              i++;          else              j = f[j-1] + 1;      }      return j == strlen(p) ? i - strlen(p) : -1;  }

时间复杂度： fail 函数的复杂度为 \(O(p)\) ， kmp 函数的复杂度为 \(O(n)\) ，所以整个KMP算法的复杂度为 \(O(n+p)\) 。

3. 参考资料

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来自： http://www.cnblogs.com/en-heng/p/5091365.html