递归与分治策略 湖南师范大学 瞿绍军 powerhope@tom.com 2.1 递归的概念  直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。  由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模 式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种 情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与 原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使 子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导 致递归过程的产生。  分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在 算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 2.1 递归的概念 例1 阶乘函数(hunnu10455) 阶乘函数可递归地定义为： 0 0 )!1( 1! > =    −= n n nnn 边界条件 递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。 2.1 递归的概念 例2 Fibonacci数列(hunnu10466) 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为 Fibonacci数列。它可以递归地定义为： 边界条件 递归方程1 1 0 )2()1( 1 1 )( > = =    −+− = n n n nFnF nF 第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n) { if (n <= 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数 是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下：       ≥ ≥ ≥ −−= += = = 1, 2 0 )1),,1((),( 2)0,( 1),0( 2)0,1( mn n m mmnAAmnA nnA mA A 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义： nnn ⋅−⋅⋅⋅⋅= )1(321!                −−      += ++ 11 2 51 2 51 5 1)( nn nF 本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数  A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：  M=0时，A(n,0)=n+2  M=1时，A(1,1)=A(A(0,1),0)= A(1,0)=2; A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2= A(n-2,1)+2+2故 A(n,1)=2*n  M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。  M=3时，类似的可以推出  M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子 来表示这一函数。  n 2 222  2.1 递归的概念 例4 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。 (2) q(n,m)=q(n,n),m≥n; 最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。 (1) q(n,1)=1,n≥1; 当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式， 即   n n 111 +++= 2.1 递归的概念 例4 整数划分问题 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因 而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关 系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个 数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。 (4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1; 正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和 n1≤n-1 的划分组成。 (3) q(n,n)=1+q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。 2.1 递归的概念       >> = < == −+− −+= 1 1,1 ),()1,( )1,(1 ),( 1 ),( mn mn mn mn mmnqmnq nnq nnqmnq 2.1 递归的概念 例4 整数划分问题(Nankai 1046) 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系， 因而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递 归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划 分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。 正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。 2.1 递归的概念 例5 Hanoi塔问题(hunnu10467) 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。 2.1 递归的概念 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试用递 归技术来解决这个问题。 2.1 递归的概念 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a 直接移至塔座b上即可。 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1 个较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下 的最大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆 盘依照移动规则从塔座c移至塔座b。 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问 题的递归算法如下。 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 用递归技术来解决这个问题。 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 接移至塔座b上即可。 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 移动规则从塔座c移至塔座b。 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 2.1 递归的概念 例5 Hanoi塔问题 void hanoi(int n, int a, int b, int c) { if (n > 0) { hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b); hanoi(n-1, c, b, a); } } 递归小结 优点：结构清晰，可读性强，而且容易用 数学归纳法来证明算法的正确性，因此它 为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是 耗费的计算时间还是占用的存储空间都比 非递归算法要多。 分治法的适用条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：  该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加 而增加，因此大部分问题满足这个特征。  该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该 问题具有最优子结构性质 这条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题 可以满足的，此特征反映了递归思想的应用 分治法的适用条件  利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的 解； 能否利用分治法完全取决于问题是否具有这条特征， 如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则 可以考虑贪心算法或动态规划。 这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不 独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地 解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般 用动态规划较好。  该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问 题之间不包含公共的子问题。 divide-and-conquer(P) { if ( | P | <= n0) adhoc(P); //解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题 for (i=1,i<=k,i++) yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 return merge(y1,...,yk); //将各子问题的解合并为原问题的解 } 分治法的基本步骤 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时， 最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成 大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。 这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡 (balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题 规模不等的做法要好。 分治法的复杂性分析 一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。 设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。 再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合 并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解 规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： 1 1 )()/( )1()( > =    += n n nfmnkT OnT 通过迭代法求得方程的解： ∑ − = += 1log 0 log )/()( nm j jjkm mnfknnT 注意：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但 是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值 可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而 当mi≤na[i]，同理我们只要在a[mid] 的后面查找x即可。无论是在前面还是后面查找x，其方法都 和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明 了此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。 分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[i]的前 面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适 用条件。 二分搜索技术 给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 分析： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；  该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;  分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；  分解出的各个子问题是相互独立的。 二分搜索技术 给定已按升序排好序的n个元素a[0:n-1]，现要在这n个元素中找 出一特定元素x。 据此容易设计出二分搜索算法： template int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r) { while (r >= l){ int m = (l+r)/2; if (x == a[m]) return m; if (x < a[m]) r = m-1; else l = m+1; } return -1; } 算法复杂度分析： 每执行一次算法的while循环， 待 搜索数组的大小减少一半。因此， 在最坏情况下，while循环被执行了 O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下 的计算时间复杂性为O(logn) 。 二分搜索技术 考虑二分搜索的递归算法 递归算法： template int BinarySearch(T A[], T v, int l, int r) { int j; if( l > r && v!=A[l]) return -1; j=(r+l)/2; if( v == A[j]) return j; else if (v < A[j]) return BinarySearch(A,v,l,j-1); else return BinarySearch(A,v,j+1,r); } 思考：Describe a Θ(n log n)-time algorithm that, given a set S of n integers and another integer x, determines whether or not there exist two elements in S whose sum is exactly x.(hunnu10542) 算法： template int CheckSum(T A[],T x,int n) { int i,L; for(i=0;i0,a=a，从①开始继续使用中点函数值判断。 如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点， (a+b)/2<=b，从①开始继续使用中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 方程求根（二分） 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区 间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值， 这种方法叫做二分法。 从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线 形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。 非线性方程求根（二分） 一次向银行借a元钱，分b月还清。如果需要每月还c元， 月利率是多少（按复利计算）。例如借2000元，分4个月共还 510元，则月利率为0.797%。答案应不超过100%。 设月利率为x，则第一个月还钱后还需要还a(1+x)-c元。重 复b个月后可以得到一个方程。接出x即可。 如：a=2000,b=4,c=510时，方程为： f(x)=(((2000(1+x)-c)(1+x)-c)(1+x)-c)(1+x)-c=0 这个方程不仅解着麻烦，甚至列出来也不简单。 思路：猜数字。 现在已知x在范围[0,100]内，如果每次猜一个值，又有人能 告诉我大了还是小了。 非线性方程求根（二分） #include int main() { double a, c, x = 0, y = 100; int i, b; scanf("%lf%d%lf", &a, &b, &c); while(y-x > 1e-5) { double m = x+(y-x)/2; double f = a; for(i = 0; i < b; i++) f += f*m/100.0-c; if(f < 0) x=m; else y=m; } printf("%.3lf%%\n", x); return 0; } 二分 题目： hdu-2178猜数字 hdu1969pie hunnu10833 hunnu10934 Strassen矩阵乘法 A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为: ∑ = = n k jkBkiAjiC 1 ]][[]][[]][[ 若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计 算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次 加法。因此，算出矩阵C的 个元素所需的计算 时间为O(n3) 传统方法：O(n3) Strassen矩阵乘法 使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4 个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为： 传统方法：O(n3) 分治法:        =    2221 1211 2221 1211 2221 1211 BB BB AA AA CC CC 由此可得： 2112111111 BABAC += 2212121112 BABAC += 2122112121 BABAC += 2222122122 BABAC += 复杂度分析 T(n)=O(n3) 2 2 )()2/(8 )1()( 2 > =    += n n nOnT OnT Strassen矩阵乘法 传统方法：O(n3) 分治法: 为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。        =    2221 1211 2221 1211 2221 1211 BB BB AA AA CC CC )( 2212111 BBAM −= 2212112 )( BAAM += 1122213 )( BAAM += )( 1121224 BBAM −= ))(( 221122115 BBAAM ++= ))(( 222122126 BBAAM +−= ))(( 121121117 BBAAM +−= 624511 MMMMC +−+= 2112 MMC += 4321 MMC += 731522 MMMMC −−+= 复杂度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81)较大的改进 2 2 )()2/(7 )1()( 2 > =    += n n nOnT OnT Strassen矩阵乘法 传统方法：O(n3) 分治法: O(n2.81) 更快的方法?? Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个２×２矩阵的乘 积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时 间复杂性，就不能再基于计算2×2矩阵的7次乘法这样的方法 了。或许应当研究３×３或５×５矩阵的更好算法。 在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复 杂性。目前最好的计算时间上界是 O(n2.376) 是否能找到O(n2)的算法？ 棋盘覆盖 在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格 不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在 棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定 的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌 不得重叠覆盖。 棋盘覆盖 当k>0时，将2k×2k棋盘分割为4个2k-1×2k-1 子棋盘(a)所示。 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特 殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可 以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示， 从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用 这种分割，直至棋盘简化为棋盘1×1。 棋盘覆盖 void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) { if (size == 1) return; int t = tile++, // L型骨牌号 s = size/2; // 分割棋盘 // 覆盖左上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s); else {// 此棋盘中无特殊方格 // 用 t 号L型骨牌覆盖右下角 board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t; // 覆盖其余方格 chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);} // 覆盖右上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s); else {// 此棋盘中无特殊方格 // 用 t 号L型骨牌覆盖左下角 board[tr + s - 1][tc + s] = t; // 覆盖其余方格 chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);} // 覆盖左下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc < tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s); else {// 用 t 号L型骨牌覆盖右上角 board[tr + s][tc + s - 1] = t; // 覆盖其余方格 chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);} // 覆盖右下角子棋盘 if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s); else {// 用 t 号L型骨牌覆盖左上角 board[tr + s][tc + s] = t; // 覆盖其余方格 chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);} } 复杂度分析 T(n)=O(4k) 渐进意义下的最优算法    > = +−= 0 0 )1()1(4 )1()( k k OkT OkT Insertion sort Input: A sequence of n numbers 〈a1, a2, . . .,an〉. Output: A permutation (reordering) of the input sequence such that . INSERTION-SORT(A) 1 for j ← 2 to length[A] 2 do key ← A[j] 3 ▹ Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1]. 4 i ← j - 1 5 while i > 0 and A[i] > key 6 do A[i + 1] ← A[i] 7 i ← i - 1 8 A[i + 1] ← key Insertion sort 复杂度分析 T(n)=O(n^2) 合并排序 基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分 别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所 要求的排好序的集合。 template void MergeSort(T A[], int p, int r) { int q; if(p ≤ += 1 1 )()2/(2 )1()( n n nOnT OnT 合并排序    > ≤ += 1 1 )()2/(2 )1()( n n nOnT OnT 合并排序 算法mergeSort的递归过程可以消去。 初始序列 [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27] [38 49] [65 97] [13 76] [27]第一步 第二步 [38 49 65 97] [13 27 76] 第三步 [13 27 38 49 65 76 97] 合并排序 最坏时间复杂度：O(nlogn) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n) 合并排序（hunnu10861） 对于一个包含N个非负整数的数组A[1..n]，如果 有i < j，且A[ i ]>A[ j ]，则称( i , j )为数组A中的一个 逆序对。 例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有 (3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。 设计一个最坏情况下时间复杂度为： O(nlogn) 题目：hunnu10515 快速排序 在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间 进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单 元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元， 记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次 数较少。 template void QuickSort (Type a[], int p, int r) { if (p int Partition(Type a[], int p, int r) { int i = p, j = r + 1; Type x=a[p]; // 将< x的元素交换到左边区域 // 将> x的元素交换到右边区域 while (true) { while(a[++i] x && j>=p); if(i>=j)break; swap(a[i],a[j]); } a[p]=a[j]; a[j]=x; return j; } 初始序列 {6, 7, 5, 2, 5, 8} --j; ji {6, 7, 5, 2, 5, 8} --j; ji {6, 5, 5, 2, 7, 8} j--; ji {6, 7, 5, 2, 5, 8} {6, 7, 5, 2, 5, 8} i ++i; {6, 5, 5, 2, 7, 8} ++i; ji {6, 5, 5, 2, 7, 8} ji ++i; {6, 5, 5, 2, 7, 8} ++i; ji{6, 5, 5, 2, 7, 8} ++i; j i {2, 5, 5 } 6 { 7, 8} template int RandomizedPartition (Type a[], int p, int r) { int i = Random(p,r); Swap(a[i], a[p]); return Partition (a, p, r); } 快速排序 快速排序算法的性能取决于划分的对称性。通过修改 算法partition，可以设计出采用随机选择策略的快速排 序算法。在快速排序算法的每一步中，当数组还没有被 划分时，可以在a[p:r]中随机选出一个元素作为划分基准， 这样可以使划分基准的选择是随机的，从而可以期望划 分是较对称的。 最坏时间复杂度：O(n2) 平均时间复杂度：O(nlogn) 辅助空间：O(n)或O(logn) 线性时间选择 给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个 元素中第k小的元素 template Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k) { if (p==r) return a[p]; int i=RandomizedPartition(a,p,r), j=i-p+1; if (k<=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j); } 在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间 但可以证明，算法randomizedSelect可以在O(n)平均时间内 找出n个输入元素中的第k小元素。 线性时间选择 如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得 按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少 为原数组长度的ε倍(0<ε<1是某个正常数)，那 么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任 务。 例如，若ε=9/10，算法递归调用所产生的子 数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情 况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式 T(n)≤T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。 将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能 有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的 元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。 递归调用select来找出这n/5个元素的中位数。如果 n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个 元素作为划分基准。 线性时间选择 设所有元素互不相同。在这种情况下， 找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素 大，因为在每一组中有2个元素小于 本组的中位数，而n/5个中位数中又 有(n-5)/10个小于基准x。同理，基准 x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当 n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基 准划分所得的2个子数组的长度都至 少缩短1/4。 Type Select(Type a[], int p, int r, int k) { if (r-p<75) { 用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序; return a[p+k-1]; }; for ( int i = 0; i<=(r-p-4)/5; i++ ) 将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素 与a[p+i]交换位置; //找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5 Type x = Select(a, p, p+(r-p-4)/5, (r-p-4)/10); int i=Partition(a,p,r, x), j=i-p+1; if (k<=j) return Select(a,p,i,k); else return Select(a,i+1,r,k-j); } 复杂度分析 T(n)=O(n)    ≥ < ++≤ 75 75 )4/3()5/()( 2 1 n n nTnTnC CnT 上述算法将每一组的大小定为5，并选取75作为是否作递归 调用的分界点。这2点保证了T(n)的递归式中2个自变量之和 n/5+3n/4=19n/20=εn，0<ε<1。这是使T(n)=O(n)的关键之 处。当然，除了5和75之外，还有其他选择。 最接近点对问题 给定平面上n个点的集合S，找其中的一对点，使得在n个点组 成的所有点对中，该点对间的距离最小。 为了使问题易于理解和分析，先来考虑一维的情形。此时， S中的n个点退化为x轴上的n个实数 x1,x2,…,xn。最接近点 对即为这n个实数中相差最小的2个实数。 假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2 ，基 于平衡子问题的思想，用S中各点坐标的中位数来作分割点。 递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并 设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}， 或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。 能否在线性时间内找到p3,q3？ 最接近点对问题 如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|m} 2、d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); 3、dm=min(d1,d2); 4、设P1是S1中距垂直分割线l的距离在dm之 内的所有点组成的集合； P2是S2中距分割线l的距离在dm之内所有 点组成的集合； 将P1和P2中点依其y坐标值排序； 并设X和Y是相应的已排好序的点列； 5、通过扫描X以及对于X中每个点检查Y中与 其距离在dm之内的所有点(最多6个)可以完成 合并； 当X中的扫描指针逐次向上移动时，Y中的 扫描指针可在宽为2dm的区间内移动； 设dl是按这种扫描方式找到的点对间的最 小距离； 6、d=min(dm,dl); return d; } 复杂度分析 T(n)=O(nlogn)    ≥ < += 4 4 )()2/(2 )1()( n n nOnT OnT 循环赛日程表 设计一个满足以下要求的比赛日程表： (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； (2)每个选手一天只能赛一次； (3)循环赛一共进行n-1天。 按分治策略，将所有的选手分为两半，n个选手的比赛日程表 就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用 对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定 就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 作业: http://poj.org/ 1002(快速排序), 1007(合并排 序),2388 (排序),2299(归并排序 求逆序对) 2318(叉积+二分),2379（排序）