用java实现的各种算法

wangbiaoxp 贡献于2012-04-25

作者 lujunson  创建于2010-12-27 03:39:00   修改者lujunson  修改于2010-12-27 06:24:00字数20713

文档摘要:Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的著作中曾经提到:若有一只兔子每个月生一只小兔子,一个月后小兔子也开始生产。起初只有一只兔子,一个月后就有两只兔子,两个月后有三只兔子,三个月后有五只兔子(小兔子投入生产)……
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1 Fibonacci Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的著作中曾经提到:若有一只兔子每个月生一只小兔子,一个月后小兔子也开始生产。起初只有一只兔子,一个月后就有两只兔子,两个月后有三只兔子,三个月后有五只兔子(小兔子投入生产)…… 这就是Fibonacci数列,一般习惯称之为费式数列,例如:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…… Java代码 public class Fibonacci { public static void main(String[] args) { int[] fib = new int[20]; fib[0] = 0; fib[1] = 1; for (int i = 2; i < fib.length; i++) fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2]; for (int i = 0; i < fib.length; i++) System.out.print(fib[i] + " "); System.out.println(); } } 2 巴斯卡(Pascal) 三角形基本上就是在解nCr ,因为三角形上的每一个数字各对应一个nCr ,其中n为row,而r为colnmu Java代码 public class Pascal extends JFrame { public Pascal() { setBackground(Color.white); setTitle("巴斯卡三角形"); setSize(520, 350); setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE); show(); } private long combi(int n, int r) { int i; long p = 1; for (i = 1; i <= r; i++) p = p * (n - i + 1) / i; return p; } public void paint(Graphics g) { final int N = 12; int n, r, t; for (n = 0; n <= N; n++) { for (r = 0; r <= n; r++) g.drawString(" " + combi(n, r), (N - n) * 20 + r * 40, n * 20 + 50); } } public static void main(String args[]) { Pascal frm = new Pascal(); } } 3 ThreeColorFlags ThreeColorFlags问题最早由E.W.Dijkstra所提出,塔所使用的用语为Dutch Nation Flag(Dijkstra为荷兰人),而多数的作者则使用Three-Color Flag来说明。 假设有一条绳子,上面有红,白,蓝三种颜色的旗子,起初绳子上的旗子颜色并没有顺序,您希望将之分类,并排列蓝,白,红的顺序,要如何移动次数才会最少,注意您只能在绳子上进行这个动作,而且一次只能调换两个旗子。 Java代码 public class ThreeColorsFlags { private void swap(char[] flags, int x, int y) { char temp; temp = flags[x]; flags[x] = flags[y]; flags[y] = temp; } public String move(char[] flags) { int wFlag = 0; int bFlag = 0; int rFlag = flags.length - 1; while (wFlag <= rFlag) { if (flags[wFlag] == 'W') { wFlag++; } else if (flags[wFlag] == 'B') { swap(flags, bFlag, wFlag); bFlag++; wFlag++; } else { while (wFlag < rFlag && flags[rFlag] == 'R') rFlag--; swap(flags, rFlag, wFlag); rFlag--; } } return new String(flags); } public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader buf; buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); System.out.print("输入三色旗顺序(ex. RWBBWRWR):"); String flags = buf.readLine(); ThreeColorsFlags threeColorsFlag = new ThreeColorsFlags(); flags = threeColorsFlag.move(flags.toUpperCase().toCharArray()); System.out.println("移动顺序后:" + flags); } } 4 Mouse Mouse走迷宫是循环求解的基本类型,我们在二维数组中用2来表示迷宫的墙壁,使用1来表示老鼠的行走路径,并用程序求出从入口到出口的距离。 Java代码 public class Mouse { private int startI, startJ; // 入口 private int endI, endJ; // 出口 private boolean success = false; public static void main(String[] args) { int[][] maze = { { 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 }, { 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2 }, { 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2 }, { 2, 0, 0, 2, 0, 2, 2 }, { 2, 2, 0, 2, 0, 2, 2 }, { 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2 }, { 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 } }; System.out.println("显示迷宫:"); for (int i = 0; i < maze.length; i++) { for (int j = 0; j < maze[0].length; j++) if (maze[i][j] == 2) System.out.print("█"); else System.out.print(" "); System.out.println(); } Mouse mouse = new Mouse(); mouse.setStart(1, 1); mouse.setEnd(5, 5); if (!mouse.go(maze)) { System.out.println("\n没有找到出口!"); } else { System.out.println("\n找到出口!"); for (int i = 0; i < maze.length; i++) { for (int j = 0; j < maze[0].length; j++) { if (maze[i][j] == 2) System.out.print("█"); else if (maze[i][j] == 1) System.out.print("◇"); else System.out.print(" "); } System.out.println(); } } } public void setStart(int i, int j) { this.startI = i; this.startJ = j; } public void setEnd(int i, int j) { this.endI = i; this.endJ = j; } public boolean go(int[][] maze) { return visit(maze, startI, startJ); } private boolean visit(int[][] maze, int i, int j) { maze[i][j] = 1; if (i == endI && j == endJ) success = true; if (!success && maze[i][j + 1] == 0) visit(maze, i, j + 1); if (!success && maze[i + 1][j] == 0) visit(maze, i + 1, j); if (!success && maze[i][j - 1] == 0) visit(maze, i, j - 1); if (!success && maze[i - 1][j] == 0) visit(maze, i - 1, j); if (!success) maze[i][j] = 0; return success; } } 5 Knight tour 骑士游戏,在十八世纪倍受数学家与拼图迷的注意,骑士的走法为西洋棋的走发,骑士可以由任何一个位置出发,它要如何走完所有的位置。 Java代码 public class Knight { public boolean travel(int startX, int startY, int[][] board) { // 对应骑士可以走的八个方向 int[] ktmove1 = { -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2 }; int[] ktmove2 = { 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1 }; // 下一个出路的位置 int[] nexti = new int[board.length]; int[] nextj = new int[board.length]; // 记录出路的个数 int[] exists = new int[board.length]; int x = startX; int y = startY; board[x][y] = 1; for (int m = 2; m <= Math.pow(board.length, 2); m++) { for (int k = 0; k < board.length; k++) { exists[k] = 0; } int count = 0; // 试探八个方向 for (int k = 0; k < board.length; k++) { int tmpi = x + ktmove1[k]; int tmpj = y + ktmove2[k]; // 如果是边界,不可以走 if (tmpi < 0 || tmpj < 0 || tmpi > 7 || tmpj > 7) { continue; } // 如果这个方向可以走,记录下来 if (board[tmpi][tmpj] == 0) { nexti[count] = tmpi; nextj[count] = tmpj; // 可走的方向加一个 count++; } } int min = -1; if (count == 0) { return false; } else if (count == 1) { min = 0; } else { // 找出下个位置的出路数 for (int l = 0; l < count; l++) { for (int k = 0; k < board.length; k++) { int tmpi = nexti[l] + ktmove1[k]; int tmpj = nextj[l] + ktmove2[k]; if (tmpi < 0 || tmpj < 0 || tmpi > 7 || tmpj > 7) { continue; } if (board[tmpi][tmpj] == 0) exists[l]++; } } int tmp = exists[0]; min = 0; // 从可走的方向寻找最少出路的方向 for (int l = 1; l < count; l++) { if (exists[l] < tmp) { tmp = exists[l]; min = l; } } } // 走最少出路的方向 x = nexti[min]; y = nextj[min]; board[x][y] = m; } return true; } public static void main(String[] args) { int[][] board = new int[8][8]; Knight knight = new Knight(); if (knight.travel(Integer.parseInt(args[0]), Integer.parseInt(args[1]), board)) { System.out.println("走棋完成!"); } else { System.out.println("走棋失败!"); } for (int i = 0; i < board.length; i++) { for (int j = 0; j < board[0].length; j++) { if (board[i][j] < 10) { System.out.print(" " + board[i][j]); } else { System.out.print(board[i][j]); } System.out.print(" "); } System.out.println(); } } } 6 Queen 西洋棋中的皇后可以直线前进,吃掉遇到的所有棋子,如果棋盘上有八个皇后,则这八个皇后如何相安无事的放置在棋盘上? Java代码 public class Queen { // 同位置是否有皇后,1表示有 private int[] column; // 右上至左下是否有皇后 private int[] rup; // 左上至右下是否有皇后 private int[] lup; // 解答 private int[] queen; // 解答编号 private int num; public Queen() { column = new int[8 + 1]; rup = new int[2 * 8 + 1]; lup = new int[2 * 8 + 1]; for (int i = 1; i <= 8; i++) column[i] = 1; for (int i = 1; i <= 2 * 8; i++) rup[i] = lup[i] = 1; queen = new int[8 + 1]; } public void backtrack(int i) { if (i > 8) { showAnswer(); } else { for (int j = 1; j <= 8; j++) { if (column[j]==1 && rup[i+j]==1 && lup[i-j+8]==1) { queen[i] = j; // 设定为占用 column[j] = rup[i + j] = lup[i - j + 8] = 0; backtrack(i + 1); column[j] = rup[i + j] = lup[i - j + 8] = 1; } } } } protected void showAnswer() { num++; System.out.println("\n解答 " + num); for (int y = 1; y <= 8; y++) { for (int x = 1; x <= 8; x++) { if (queen[y] == x) { System.out.print(" Q"); } else { System.out.print(" ."); } } System.out.println(); } } public static void main(String[] args) { Queen queen = new Queen(); queen.backtrack(1); } } 7 Coins 现在有八枚银币abcdefg,已知其中一枚是假币,其重量不同于真币,但不知道是轻还是重,如何用天平以最小的比较次数决定出那个是假币,并得知假币是比真币轻还是重。 Java代码 public class Coins { private int[] coins; public Coins() { coins = new int[8]; for (int i = 0; i < 8; i++) coins[i] = 10; } public void setFake(int weight) { coins[(int) (Math.random() * 7)] = weight; } public void fake() { if (coins[0] + coins[1] + coins[2] == coins[3] + coins[4] + coins[5]) { if (coins[6] > coins[7]) compare(6, 7, 0); else compare(7, 6, 0); } else if (coins[0] + coins[1] + coins[2] > coins[3] + coins[4] + coins[5]) { if (coins[0] + coins[3] == coins[1] + coins[4]) compare(2, 5, 0); else if (coins[0] + coins[3] > coins[1] + coins[4]) compare(0, 4, 1); if (coins[0] + coins[3] < coins[1] + coins[4]) compare(1, 3, 0); } else if (coins[0] + coins[1] + coins[2] < coins[3] + coins[4] + coins[5]) { if (coins[0] + coins[3] == coins[1] + coins[4]) compare(5, 2, 0); else if (coins[0] + coins[3] > coins[1] + coins[4]) compare(3, 1, 0); if (coins[0] + coins[3] < coins[1] + coins[4]) compare(4, 0, 1); } } protected void compare(int i, int j, int k) { if (coins[i] > coins[k]) System.out.print("\n假币 " + (i + 1) + " 较重"); else System.out.print("\n假币 " + (j + 1) + " 较轻"); } public static void main(String[] args) { if (args.length == 0) { System.out.println("输入假币重量(比10大或小)"); System.out.println("ex. java Coins 5"); return; } Coins eightCoins = new Coins(); eightCoins.setFake(Integer.parseInt(args[0])); eightCoins.fake(); } } 8 Life game 生命游戏,为1970年英国数学家J.H.Conway所提出,某一细胞的邻居包括上,下,左,右,左上,左下,右上与右下相邻的细胞,游戏规则如下: 1,孤单死亡:如果细胞的邻居小于一个,则该细胞在下一个状态死亡。 2,拥挤死亡:如果细胞的邻居在四个以上,则该细胞在下一个状态死亡。 3,稳定:如果细胞的邻居为两个或三个,则该细胞在下一个状态稳定。 4,复活:如果某位置原无细胞存活,而该位置的邻居为三个,则该位置将复活一个细胞。 Java代码 public class LifeGame { private boolean[][] map; private boolean[][] newmap; public LifeGame(int maxRow, int maxColumn) { map = new boolean[maxRow][maxColumn]; newmap = new boolean[maxRow][maxColumn]; } public void setCell(int x, int y) { map[x][y] = true; } public void next() { for (int row = 0; row < map.length; row++) { for (int col = 0; col < map[0].length; col++) { switch (neighbors(row, col)) { case 0: case 1: case 4: case 5: case 6: case 7: case 8: newmap[row][col] = false; break; case 2: newmap[row][col] = map[row][col]; break; case 3: newmap[row][col] = true; break; } } } copyMap(); } public void outputMap() throws IOException { System.out.println("\n\nGame of life cell status"); for (int row = 0; row < map.length; row++) { System.out.print("\n "); for (int col = 0; col < map[0].length; col++) if (map[row][col] == true) System.out.print('#'); else System.out.print('-'); } } private void copyMap() { for (int row = 0; row < map.length; row++) for (int col = 0; col < map[0].length; col++) map[row][col] = newmap[row][col]; } private int neighbors(int row, int col) { int count = 0; for (int r = row - 1; r <= row + 1; r++) for (int c = col - 1; c <= col + 1; c++) { if (r < 0 || r >= map.length || c < 0 || c >= map[0].length) continue; if (map[r][c] == true) count++; } if (map[row][col] == true) count--; return count; } public static void main(String[] args) throws NumberFormatException, IOException { BufferedReader bufReader = new BufferedReader(new InputStreamReader( System.in)); LifeGame game = new LifeGame(10, 25); System.out.println("Game of life Program"); System.out.println("Enter x, y where x, y is living cell"); System.out.println("0 <= x < 10, 0 <= y < 25"); System.out.println("Terminate with x, y = -1, -1"); while (true) { String[] strs = bufReader.readLine().split(" "); int row = Integer.parseInt(strs[0]); int col = Integer.parseInt(strs[1]); if (0 <= row && row < 10 && 0 <= col && row < 25) game.setCell(row, col); else if (row == -1 || col == -1) { break; } else { System.out.print("(x, y) exceeds map ranage!"); } } while (true) { game.outputMap(); game.next(); System.out.print("\nContinue next Generation ? "); String ans = bufReader.readLine().toUpperCase(); if (!ans.equals("Y")) break; } } } 9 String Match 现在的一些高级程序语言对于字符串的处理支持越来越大,不过字符串搜寻本身仍是值得探讨的课题,在这里以Boyer Moore法来说明如何进行字符串说明,这个方法速度快且容易理解。 Java代码 public class StringMatch { private int[] skip; private int p; private String str; private String key; public StringMatch(String key) { skip = new int[256]; this.key = key; for (int k = 0; k <= 255; k++) skip[k] = key.length(); for (int k = 0; k < key.length() - 1; k++) skip[key.charAt(k)] = key.length() - k - 1; } public void search(String str) { this.str = str; p = search(key.length() - 1, str, key); } private int search(int p, String input, String key) { while (p < input.length()) { String tmp = input.substring(p - key.length() + 1, p + 1); if (tmp.equals(key)) // 比较两个字符串是否相同 return p - key.length() + 1; p += skip[input.charAt(p)]; } return -1; } public boolean hasNext() { return (p != -1); } public String next() { String tmp = str.substring(p); p = search(p + key.length() + 1, str, key); return tmp; } public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader bufReader = new BufferedReader(new InputStreamReader( System.in)); System.out.print("请输入字符串:"); String str = bufReader.readLine(); System.out.print("请输入搜寻关键字:"); String key = bufReader.readLine(); StringMatch strMatch = new StringMatch(key); strMatch.search(str); while (strMatch.hasNext()) { System.out.println(strMatch.next()); } } } 10 Kanpsack Problem 假设一个背包的负重最大可达8公斤,而希望在背包内放置负重范围你价值最高的物品。 Java代码 class Fruit { private String name; private int size; private int price; public Fruit(String name, int size, int price) { this.name = name; this.size = size; this.price = price; } public String getName() { return name; } public int getPrice() { return price; } public int getSize() { return size; } } public class Knapsack { public static void main(String[] args) { final int MAX = 8; final int MIN = 1; int[] item = new int[MAX + 1]; int[] value = new int[MAX + 1]; Fruit fruits[] = { new Fruit("李子", 4, 4500), new Fruit("苹果", 5, 5700), new Fruit("桔子", 2, 2250), new Fruit("草莓", 1, 1100), new Fruit("甜瓜", 6, 6700) }; for (int i = 0; i < fruits.length; i++) { for (int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX; s++) { int p = s - fruits[i].getSize(); int newvalue = value[p] + fruits[i].getPrice(); if (newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解 value[s] = newvalue; item[s] = i; } } } System.out.println("物品\t价格"); for (int i = MAX; i >= MIN; i = i - fruits[item[i]].getSize()) { System.out.println(fruits[item[i]].getName() + "\t" + fruits[item[i]].getPrice()); } System.out.println("合计\t" + value[MAX]); } } 11 Towers of Hanoi 河內之塔(Towers of Hanoi)是法国人M.Claus(Lucas)於1883年从泰国带至法国的,河內为越战时北越的首都,即现在的胡志明市;1883年法国数学家 Edouard Lucas曾提及這个故事,据说创世紀时Benares有一座波罗教塔,是由三支钻石棒(Pag)所支撑,开始时神在第一根棒上放置64个由上至下依由小 至大排列的金盘(Disc),並命令僧侣将所有的金盘从第一根石棒移至第三根石棒,且搬运过程中遵守大盘子在小盘子之下的原则,若每日仅搬一个盘子,则当 盘子全数搬运完毕之时,此塔将损毁,而也就是世界末日來临之时。 Java代码 public class Hanoi { public static void main(String args[]) throws IOException { int n; BufferedReader buf; buf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); System.out.print("请输入盘子个数"); n = Integer.parseInt(buf.readLine()); Hanoi hanoi = new Hanoi(); hanoi.move(n, 'A', 'B', 'C'); } public void move(int n, char a, char b, char c) { if (n == 1) System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c); else { move(n - 1, a, c, b); System.out.println("盘 " + n + " 由 " + a + " 移至 " + c); move(n - 1, b, a, c); } } } 12 Hanoi2Colors Hanoi2Colors是由河内塔演变而来的一种算法。 Java代码 public class Hanoi2Colors { public static void help() { System.out.println("Usage: java Hanoi2Colors number_of_disks"); System.out.println("\t number_of_disks: must be a even number."); System.exit(0); } public static void main(String[] args) { int disks = 0; try { disks = Integer.parseInt(args[0]); } catch (Exception e) { help(); } if ((disks <= 0) || (disks % 2 != 0)) { help(); } hanoi2colors(disks); } public static void hanoi(int disks, char source, char temp, char target) { if (disks == 1) { System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); } else { hanoi(disks - 1, source, target, temp); hanoi(1, source, temp, target); hanoi(disks - 1, temp, source, target); } } public static void hanoi2colors(int disks) { char source = 'A'; char temp = 'B'; char target = 'C'; for (int i = disks / 2; i > 1; i--) { hanoi(i - 1, source, temp, target); System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); hanoi(i - 1, target, temp, source); System.out.println("move disk from " + temp + " to " + target); } System.out.println("move disk from " + source + " to " + temp); System.out.println("move disk from " + source + " to " + target); } } 以上是把java写的常用算法放在了一起,希望可以对我们学习java有所帮助。 最后写一个很有用的星期的介绍 如何计算某一天是星期几? —— 蔡勒(Zeller)公式 历史上的某一天是星期几?未来的某一天是星期几?关于这个问题,有很多计算公式(两个通用计算公式和一些分段计算公式),其中最著名的是蔡勒(Zeller)公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 公式中的符号含义如下,w:星期;c:世纪-1;y:年(两位数);m:月(m大于等于3,小于等于14,即在蔡勒公式中,某年的1、2月要看作 上一年的13、14月来计算,比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算);d:日;[ ]代表取整,即只要整数部分。(C是世纪数减一,y是年份后两位,M是月份,d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算,这时C和y均按上一年取值。) 算出来的W除以7,余数是几就是星期几。如果余数是0,则为星期日。 以2049年10月1日(100周年国庆)为例,用蔡勒(Zeller)公式进行计算,过程如下: 蔡勒(Zeller)公式:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 =49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1 =49+[25]+5-40+[6] =49+12+5-40+28 =54 (除以7余5) 即2049年10月1日(100周年国庆)是星期5。 你的生日(出生时、今年、明年)是星期几?不妨试一试。 不过,以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形(当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历,即今天使用的公历)。 过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看) 星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经•创世纪》中规定上帝用了六 天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所 以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是 指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。   在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知 道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会 随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢?   答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道 了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出 来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。 其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星 期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15 日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也 都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2, 这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。   这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子 之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的 “原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期 的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是 0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那 么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。   但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月 1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时间:一,1982年7月29 日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年 元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加 5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把 5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。同理,第 一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。 所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。   仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个 整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两 个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文 学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这 样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一 年的第几天。巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是 星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 只有一个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。   我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在 2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像1600、2000、2400 年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。   因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年 中的闰年数,就等于 [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400], [...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉 被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这 样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式: W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (1) 其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月 31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来 算2004年5月1日: W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + (31+29+31+30+1) = 731702, 731702 / 7 = 104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。   上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔 细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是 不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语 来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。   显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实, (Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) = (Y-1) * (7*52+1) = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1), 这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就 等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为: (Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7). 其中,≡是数论中表示同余的符号,mod 7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情 况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到 了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式: W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D. (2)   这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻 烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各 个月的日数,列表如下: 月  份:1月 2月  3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 -------------------------------------------------------------------------- 天  数: 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 表: 月  份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 ------------------------------------------------------------------------ 剩余天数: 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 平年累积: 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 闰年累积: 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30 仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2, 3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中, 后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的 存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达: ╭ d;                 (当M=1) D = { 31 + d;             (当M=2)           (3) ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i.  (当M≥3) 其中[...]仍表示只取整数部分;M和d分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年 i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的 平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一 个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有: D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 = 122, 这正是5月1日在2004年的累积天数。   假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍 然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一 天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成: D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. (3≤M≤14) (4) 上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成: W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d. 因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变, 公式变成: W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d.                                     (5) 当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子 的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这 个公式来算,有: W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] + 1 = 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 = 2524; 2524 / 7 = 360……4.这和实际是一致的。   公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年 份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列 表如下: 年份: 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) -------------------------------------------------------------------- 星期: 4 2 ============================================== 年份:201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) -------------------------------------------------------------------- 星期: 0 5 可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301) 年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可 以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此,我们 可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式: W = (4 - C mod 4) * 2 - 4. (6) 式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月 1日,C=20,则: W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 = 8 - 4 = 4.   把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得: (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 (mod 7). (7) 因此,公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项,在计算 每个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写 出来就是: W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d. (8) 有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式 就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考 虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1) 简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意 一天是星期几的公式: W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d. (9) 式中,y是年份的后两位数字。   如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写 成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系: 4q + r = C, 其中r即是 C mod 4,因此,有: r = C - 4q = C - 4 * [C/4]. (10) 则 (4 - C mod 4) * 2 = (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 = 8 - 2C + 8 * [C/4] ≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7). (11) 把式(11)代入(9),得到: W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (12) 这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是 几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月, C和y都按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的 公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安•蔡勒(Christian Zeller, 1822- 1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’s Formula)。为方便口算, 式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。   现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒 公式,有: W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 = -15. 注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便 计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。 再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结 果一致。   最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑 的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是: W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1. (13)   这样,我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。 题目: 12球太少,我3次能称14球,不相信?我还4次称41球,5次122球…… 下面是怎么称14个球(设为A1-A14)。 前提是有多一个标准球A0。 A0-A4 vs A5-A9 如果相等,则坏球在A10-A14这5个球中。 5球(重新记做A1-A5外加一个A0为标准球)的称法如下: A0,A1 vs A2,A3 如果相等,则坏球是A4或A5,取其中一个与A0再称一次即可判断(这个不用说了,人人都知道怎么称)。 如果不等,假设A0,A1 > A2,A3(<的话,下面的判断都反一反即可),则再称一次: A2 vs A3 如果相等,则坏球是A1,否则A1就是好球,坏球在A2、A3中,根据上一次称量结果可以判断出,坏球比标准球轻,所以A2 vs A3的结果,轻的那个就是坏球。 如果第一次称量不等,则坏球在A1-A9这9个球中,并且你知道一个不等关系,我们假设是A0-A4 > A5-A9(<的话,下面的判断都反一反即可)。 然后测A1,A2,A5 vs A3,A4,A6 如果相等,则坏球在A7,A8,A9中,并且可以推导出其中轻的那个是坏球,再称一次肯定能找出坏的那个。 如果A1,A2,A5 > A3,A4,A6 则坏球在A1,A2,A6中,并且可以推导出A1,A2 > A0,A6 反之坏球在A5,A3,A4中,并且可以推导出A5,A0 < A3,A4 不难看出这两种情况实际是等价的,只需比较两个同处一侧的球就可以判断哪个是坏球了。 如果没有标准球A0的话,那第一次称量就不能5对5了,只能4对4,所以最多只能称13个球。第一次相等的情况跟前面完全一样,如果不等,就是那 8个球有问题,比前面的9个还少一个,所以你肯定可以称出来。那么为什么常见的题目都是12球呢?估计最初流传时很少有人真正从理论(信息论)上理解这个 题,所以答案都是凑出来的,自然很难做到最优化。 但是如果掌握了理论,这个称球问题就可以推广,比如4次最多可以称量27+14=41个。前提也是你多一个标准球,这样第一次称量就是14 vs 13+1,如果相等,坏球就在剩下的14个里,就转化为了前面描述的14球称量问题。如果不等,则坏球在27个里,通过合理调配,你肯定可以把它们区别成 3组分别9个,通过一次称量判断出坏球到底是在哪9个球中。因为一次称量有3种状态,可以把一堆球分成3组。以下每次都是3组1分,所以27=3的3次方 就是表示3次称量就可以区分出来了。 不难看出,如果5次的话,可以最多称量27*3+41=122个,以下可以逐级类推,有兴趣的同志可以求出它的公式。 最后是一个思考题,既然可以3个一组分,为什么3次称量只能称14个而不是27个呢?

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